Question

在平面直角坐标系中，设二次函数f（x）=3x²-2x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为A．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求圆A的方程；
（3）问圆A是否经过某定点（其坐标与c无关）？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）分别令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）设出圆的一般方程与（1）比较即可得出；
（3）利用曲线系即可得出．

解答：解：（1）令x=0，得f（0）=c，∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．
令f（x）=3x²-2x+c=0，由题意可得：c≠0且△=4-12c＞0，
解得c＜

1

3

且c≠0．
（2）设圆A：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得：x²+Dx+F=0，与3x²-2x+c=0是同一个方程．
∴D=-

2

3

，F=

c

3

．
令x=0得y²+Ey+F=0，此方程有一个解c．∴c2+Ec+

c

3

=0，得E=-c-

1

3

．
∴圆A的方程为：x2+y2-

2

3

x-(c+

1

3

)y+

c

3

=0．
（3）由x2+y2-

2

3

x-(c+

1

3

)y+

c

3

=0化为x2+y2-

2

3

x-

1

3

y+(

1

3

-y)c=0．
令

x2+y2- 2 3 x- 1 3 y=0 1 3 -y=0

，解得y=

1

3

，x=0或

2

3

．
∴圆必过定点(0，

1

3

)或(

2

3

，

1

3

)．

点评：熟练掌握圆的一般方程与曲线系等是解题的关键．