Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：
①当c=0时，有f（-x）=-f（x）成立；
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 
④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c-

b2

2

．
其中正确的命题的序号是（　　）

A．①②④

B．①③④

C．②③④

D．①②③

Answer 1

分析：根据“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断①；
当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；
利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；
当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，b取不同值时，函数的最小值可判断④

解答：解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（-x）=-f（x）恒成立，故①正确；
b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故②正确；
对于③，因为f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；
当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，当b≤0时，f（x）有最小值是c，当b＞0时，f（x）有最小值是c-

b2

2

故④不正确．
故选D

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．