Question

已知离心率为e=2的双曲线C：=1(a＞0，b＞0)，双曲线C的右焦点关于直线x+y+=0的对称点在双曲线C的左准线上．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)过点M(5，0)的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，求直线l的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵e=2，∴=2①

设右焦点F(c，0)关于直线x+y+=0的对称点为(x₀，y₀)

则解得x₀=,∴②

由①②得，从而b=，∴双曲线方程是x²-=1

(Ⅱ)设直线l:y=k(x-5)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

∵，∴(x₂-x₁，y₂-y₁)=3(5-x₂，-y₂)

∴x₂-x₁=3(5-x₂)，x₁=4x₂-15①

由,得(3-k²)x²+10k²x-25k²-3=0

②

x₁+x₂=③     x₁·x₂=④

由①②得代入④得

解得k=±1满足②

∴l方程为x-y-5=0或x+y-5=0 。