Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）转化函数的表达式为分段函数的形式，结合x的范围，分别求解不等式的解集，然后求出并集即可．
（2）利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值，即可求出m的范围．

解答：选修4-5：不等式选讲
解：（1）因为f（x）=|x+1|+|x-3|．
所以f(x)=

-2x+2，x＜-1 4，-1≤x≤3 2x-2，x＞3

，
所以原不等式f（x）≤3x+4；
等价于
①

x＜-1 -2x+2≤3x+4

或②

-1≤x≤3 4≤3x+4

或③

x＞3 2x-2≤3x+4

，
解得①无解，②0≤x≤3，③x＞3，
因此不等式的解集为：{x|x≥0}．
（2）由于不等式f（x）≥m的解集为R，所以f（x）_min≥m，
又f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1+3-x|=4，即f（x）_min=4，
所以m≤4，即m的取值范围为（-∞，4]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．