Question

已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx-1．
（1）若函数h（x）=g（x）+1-

x

2

f（x）-2x存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

Answer 1

分析：（1）先求出函数h′（x），欲使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分离法可得a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上有解，故a大于函数

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上的最小值即可．
（2）先令F（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx+1（a＞0），函数f（x）=ax与g（x）=lnx-1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数，利用导数研究函数F（x）的最小值，比较最小值与0的大小即可得到F（x）的零点的个数．

解答：解：（1）h（x）=lnx-

a

2

x2-2x（x＞0），
h′（x）=

1

x

-ax-2．
若使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）上有解．
而当x＞0时，

1

x

-ax-2＜0?ax＞

1

x

-2?a＞

1

x2

-

2

x

问题转化为
a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上有解，故a大于函数

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上的最小值．
又

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1，

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上的最小值为-1，所以a＞-1．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx+1（a＞0）
函数f（x）=ax与g（x）=lnx-1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数．
F′（x）=a-

1

x

（x＞0）
令F（x）=a-

1

x

=0解得x=

1

a

．
随着x的变化，F（x），F（x）的变化情况如表：
（7分）
①当F（

1

a

）=2+lna＞0，即a=e^-2时，F（x）恒大于0，函数F（x）无零点．（8分）
②当F（

1

a

）=2+lna=0，即a=e^-2时，由上表，函数F（x）有且仅有一个零点．
③F（

1

a

）=2+lna＜0，即0＜a＜e^-2时，显然1＜

1

a

F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（

1

a

）＜0•，
又F（x）在（0，

1

a

）内单调递减，
所以F（x）在（0，

1

a

）内有且仅有一个零点
当x＞

1

a

时，F（x）=ln

(ea)x

x

+1
由指数函数y=（e^a）^x（e^a＞1）与幂函数y=x增长速度的快慢，知存在x₀＞

1

a

使得

(ea)x0

x0

＞1从而F（x₀）=ln

(ea)x0

x0

+1＞ln1+1=1＞0
因而F（

1

a

）•F（x₀＜0）
又F（x）在（

1

a

，+∞）内单调递增，
F（x）在[

1

a

，+∞）上的图象是连续不断的曲线，
所以F（x）在（

1

a

，+∞）内有且仅有一个零点．
因此，0＜a＜e^-2时，F（x）有且仅有两个零点．
综上，a＞e^-2，f（x）与g（x）的图象无交点；
当a=e^-2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点；
0＜a＜e^-2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有两个交点．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系等基础题知识，考查了转化和划归的数学思想，属于中档题．