Question

已知函数f(x)＝aln(1＋e^x)－(a＋1)^x(其中a＞0)，点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，C(x₃，f(x₃))从左到右依次是函数y＝f(x)图象上三点，且2x₂＝x₁＋x₃．

(Ⅰ)证明：函数f(x)在R上是减函数；

(Ⅱ)求证：△ABC是钝角三角形；

(Ⅲ)试问，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　 　　所以函数在上是单调减函数．5分 　　(Ⅱ)证明：据题意且x1＜x2＜x3， 　　由(Ⅰ)知f(x1)＞f(x2)＞f(x3)，x2＝ 　　；6分 　　；8分 　　 　　；10分 　　即△是钝角三角形 　　(Ⅲ)假设△为等腰三角形，则只能是；12分 　　 　　 　　即 　　 　　 　　 　　① 　　而事实上，②；15分 　　由于，故(2)式等号不成立．这与式矛盾．所以△不可能为等腰三角形．