Question

已知、分别是椭圆C:的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过的弦两端点与所成⊿的周长是.
（Ⅰ）.求椭圆C的标准方程.
（Ⅱ）已知点，是椭圆C上不同的两点，线段的中点为.
求直线的方程；
（Ⅲ）若线段的垂直平分线与椭圆C交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ） 解:设椭圆C:的焦距为2c,
∵椭圆C:的焦距为2,  ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分别是椭圆C:的左焦点和右焦点,且过的弦AB两端点A、B与所成⊿AB的周长是.
∴⊿AB的周长 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                           …………2分
又∵, ∴∴椭圆C的方程是…………4分
（Ⅱ）解一：点，是椭圆C上不同的两点，
∴，.以上两式相减得：，                             
即，，
∵线段的中点为，∴.                                                           
∴，
当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，
∴. ∴直线的方程为，即.                    
由 消去，得，解得或.
∴所求直线的方程为.    ………………8分
解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.
故可设直线的方程为, .           
由 消去，得   (*)
.              的中点为,
..解得.                                                           
此时方程(*)为,其判别式.∴直线的方程为.                                     
（Ⅲ）由于直线的方程为，
则线段的垂直平分线的方程为，即.        
由 得，                               
由消去得，设
则.
∴线段的中点G的横坐标为，纵坐标.
∴.                                             
∴.
∵，
，                    
∴四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点G，半径为，
其方程为.         …………14分   

略