Question

（本小题满分12分）已知函数（）．
（1）试讨论在区间上的单调性；
（2）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线在点，处的切线互相平行，求证：.

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数的运用。
（1）由已知，，根据导数的符号判定函数单调性，得到结论。
（2）因为由题意可得，当时，（，且）.
即  ，
所以，.，借助于不等式来证明。
（1）由已知，.
由，得，.  因为，所以,且．
所以在区间上，；在区间上，.
故在上单调递减，在上单调递增．            ……………6分
（2）证明：由题意可得，当时，（，且）.
即  ，
所以，.     ………8分
因为，且，所以恒成立，
所以，又，
所以，整理得.         
令，因为，所以在上单调递减，
所以在上的最大值为， 所以.…………12分