Question

已知实数x、y满足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，则实数a的最小值是（　　）

• A．

  25

  17

• B．

  8

  5

• C．

  9

  5

• D．2

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，而k=

y

x

表示区域内动点P（x，y）与原点连线的斜率，运动点P可得k的取值范围为[2，4]．不等式a（x²+y²）≥（x+y）²可化为a≥1+

2

1 k +k

，再算出不等式右边的最大值，即可得到实数a的最小值．

解答：解：作出不等式组

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（

5

3

，

10

3

），B（1，4），C（2，4）
设k=

y

x

，表示区域内动点P（x，y）与原点O连线的斜率，
运动点P，可得当P与A重合时，斜率取得最小值为2；
当P与C重合时，斜率取得最大值为4．
因此，k=

y

x

的取值范围为[2，4]
∵不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立，
∴两边都除以x²+y²，得a≥

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2

1 k +k

∵k∈[2，4]，可得

1

k

+k∈[

5

2

，

17

4

]
∴t=1+

2

1 k +k

的取值范围为[

25

17

，

9

5

]
∵a≥1+

2

1 k +k

对任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥（1+

2

1 k +k

）_max=

9

5

故选：C

点评：本题给出二元一次不等式组，求使不等式a（x²+y²）≥（x+y）²恒成立的实数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式和不等式恒成立等知识点，属于基础题．