Question

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n²－n＋2个部分．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分了成两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决． 　　证明　　(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立． 　　(2)假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部． 　　当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成了k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成： 　　(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即当n＝k＋1时，命题成立． 　　由(1)、(2)可知，对任意n∈N*命题都成立．