Question

设A、B为函数y=

3

2

|x|( x∈[-1，1] )图象上不同的两个点，且 AB∥x轴，又有定点M(1，m)(m＞

3

2

)，已知M是线段BC的中点．
（1）设点B的横坐标为t，写出△ABC的面积S关于t的函数S=f（t）的表达式；
（2）求函数S=f（t）的最大值，并求此时点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）假设B的坐标，利用M是线段BC的中点，可得点C的坐标，从而可得△ABC的面积S关于t的函数S=f（t）的表达式；
（2）先配方，再分类讨论，即可求得函数S=f（t）的最大值，及此时点C的坐标．

解答：解：（1）如图，设B(t，  

3

2

|t|)，由M是线段BC的中点，且M(1，m)(m＞

3

2

)，可得点C的坐标为C(2-t，   2m-

3

2

|t|)．
∴S=

1

2

•2|t|•[(2m-

3

2

|t|)-

3

2

|t|]=|t|(2m-3|t|)
即：S=f(t)=-3|t|2+2m|t|(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)…（6分）
（2）由上知：f(t)=-3|t|2+2m|t|=-3(|t|-

m

3

)2+

m2

3

(|t|∈(0，1]，  m＞

3

2

)
①当 

m 3 ≤1 m＞ 3 2

即 

3

2

＜m≤3时，令|t|=

m

3

，f（t）有最大值 

m2

3

，
此时，点C的坐标为C (2±

m

3

，   

3

2

m)；
②当 

m 3 ＞1 m＞ 3 2

即 m＞3时，令|t|=1，f（t）有最大值 2m-3，此时，点C的坐标为 C (1，  2m-

3

2

)或 C (3，  2m-

3

2

)…．（12分）
综上，当

3

2

＜m≤3时，f（t）有最大值

m2

3

，此时，点C的坐标为C (2±

m

3

，   

3

2

m)；当m＞3时，f（t）有最大值2m-3，此时，点C的坐标为C (1，  2m-

3

2

)或C (3，  2m-

3

2

)…（13分）

点评：本题考查三角形面积的计算，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．