Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的图象经过点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设A、B为函数y=f（x）图象上任意相异的两个点，试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由；
（3）设函数g（x）=x²+mx+6，若对任意t∈[-2，2]且x∈[-2，2]，f（t）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2处取得极值
∴

f′(0)=0 f′(2)=0

即

b=0 3×4+4a+b=0

∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，从而f（x）=x³-3x²+2
（2）直线AB和直线4x+y-3=0总相交．
∵f'（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3≥-3，由导数的几何意义可知，直线AB的斜率k≥-3，
而直线4x+y-3=0的斜率为-4，
所以两条直线相交．
（3）∵f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]递增，在（0，2）递减，
∴f（x）在x=0处有最大值2，
所以命题转化为g（x）≥2对x∈[-2，2]恒成立，即x²+mx+4≥0对x∈[-2，2]恒成立，
设h（x）=x²+mx+4则有

- m 2 ＜-2 h(-2)=-2m+8≥0

或

-2≤- m 2 ≤2 h(- m 2 )=4- m2 4 ≥0

或

- m 2 ＞2 h(2)=2m+8≥0

解得-4≤m≤4．