Question

已知函数（注：ln2≈0.693）
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，若直线y=b与函数y=f（x）的图象在上有两个不同交点，求实数b的取值范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解之即可；
（2）把a=1代入函数f（x），将直线y=b和函数y=f（x）联立方程，判断其在上有两个不同交点，研究其导数得出不等式；
（3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x=，易得ln＞，然后利用此不等式进行放缩证明；
解答：解：（1）∵函数，
∴f′（x）=+，∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）＞0，在[1，+∞）上恒成立，
∴+≥0，化简得，-≥0，可得a≤，求出的最大值，≤1，
∴a≤1；
（2）a=1，可得f（x）=+lnx，y=b，
若直线y=b与函数y=f（x）的图象在上有两个不同交点，
等价于方程b=+lnx，在上有两个不同交点，
∴令g（x）=+lnx-b，g（x）在上有两个不同交点，
g′（x）=，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
若0＜x＜1，g′（x）＞0，g（x）为减函数；
∴，解得0＜b≤ln2-，
（3）当a=1时，f（x）=f（x）=+lnx，在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
f（）=+ln=-+ln＞0，即ln＞，
∴lnn＞ln+ln+…+ln＞+++…+；
点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，会根据函数的增减性证明不等式，是一道综合题．