Question

已知函数f（x）=16lnx+x²-12x+11．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．（注：

2

3

＜ln2＜

7

10

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为f（2）和极小值为f（4），然后算出f（8）大于f（Ⅱ），f（1）小于f（4）得到f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=16lnx+x²-12x+11知，f（x）定义域为（0，+∞），
f′ (x)=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

．
当x∈（0，2）∪（4，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（2，4）时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞），f（x）的单调减区间是（2，4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
且当x=2或x=4时，f′（x）=0，所以f（x）的极大值为f（2）=16ln2-9，极小值为f（4）=32ln2-21．
又因为f（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），所以在f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．

点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．