Question

已知圆C：（x-2）²+y²=3此圆和直线x+ay+1=0在x轴上方有两个交点A、B，坐标原点为O，△AOB的面积为S．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求S关于a的函数关系式，并求S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将直线与圆的方程联立，利用圆和直线在x轴上方有两个交点A、B，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；
（2）利用直线与圆的相交弦|AB|=2

R2-d2

，结合△AOB的面积公式

1

2

×|AB|×H（原点到直线的距离），可建立关于a的函数，再利用基本不等式求函数的最值即可．

解答：解：（1）由题意得

x+ay+1=0 (x-2)2+y2=3

⇒（a²+1）y²-6ay+6=0，
∵圆和直线x+ay+1=0在x轴上方有两个交点，
∴

y1+y2= 6a a2+1 ＞0 y1•y2= 6 a2+1 ＞0 △=12a2-24＞0

⇒a＞

2

．
故实数a的取值范围是（

2

，+∞）．
（2）圆心M（2，0），圆心到直线的距离d=

3

a2+1

，
∴|AB|=2×

R2-d2

=2

3- 9 a2+1

，
O到直线的距离H=

1

a2+1

，
∴S_△AOB=

1

2

×|AB|×H=

1

2

×2×

3a2-6 a2+1

×

1

a2+1

=

3

×

1

(a2-2)+6+ 9 a2-2

．
∵a＞

2

，∴（a²-2）+

9

a2-2

≥2×3=6，
∴S_△AOB≤

3

×

1

6+6

=

1

2

．
故△AOB的面积S的取值范围是（0，

1

2

]．

点评：本题重点考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查三角形面积的计算及函数思想的应用，综合性强．