Question

14．x∈（0，+∞），证明：x+sinx≥-2ln（x+1）．

Answer 1

分析 由题意构造函数f（x）=x+sinx+2ln（x+1），由求导公式和法则求出f′（x），判断出f（x）在区间上的单调性、求出最小值，即可证明结论成立．

解答 证明：由题意构造函数f（x）=x+sinx+2ln（x+1），
则f′（x）=1+cosx+$\frac{2}{x+1}$＞0，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x=0时，f（x）取到最小值f（0）=0，
所以当x∈[0，∞）时f（x）≥0恒成立，
则x+sinx≥-2ln（x+1）成立．

点评 本题考查证明不等式的方法：构造函数法，以及利用导数研究函数的单调性、最值问题，属于中档题．