题目内容

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A-sin2C）=（sinA-sinB）b，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
3
4
D．
3
由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin2A-2sin2C=2sinAsinB-2sin2B，
即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，
∴a2+b2-c2=ab，
由此可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，
结合C∈（0°，180°），得C=60°．
∵ab=a2+b2-c2=a2+b2-（2RsinC）2=a2+b2-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），
∵△ABC面积为S=
1
2
absinC≤
1
2
×3×
3
2
=
3
3
4
，
∴当且仅当a=b=
3
时，△ABC的面积的最大值为
3
3
4

故选：C
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC为钝角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正确的个数是（　　）
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足b+c=
3
a，设
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，试求角B的大小．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）证明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）证明：不论x取何值总有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，证明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．
已知△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且角A，B、C成等差数列，△ABC的面积S=
b2-(a-c)2k
，则实数k的值为
 
．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）当sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值时，求角B的大小和△ABC的面积．

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