Question

已知函数．
（Ⅰ）当0＜a＜4时，试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）法一：依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知，设，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由，其几何意义是动点P（x，f（x）），与定点A（1，0）连线的斜率，当x=t时，取到最小值，由此能求出t的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因为，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴当0＜a＜2时，f（x）在（-∞，a）单调增，在（a，2）上单调减，在（2，+∞）上单调增；
当a=2时，f（x）在（-∞，+∞）单调增；
当2＜a＜4时，f（x）在（-∞，2）单调增，
在（2，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增；
（Ⅱ）（方法一）依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴，
设，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因为，
令g'（x）=0，∴
故上单调减，上单调增，
∴，即t的最大值为．
（方法二）由，其几何意义是动点P（x，f（x）），
与定点A（1，0）连线的斜率．
当x=t时，取到最小值，
设t的最大值为t₁，则，
即，
∴，∴，
又t₁＞1，∴，
即t的最大值为．
点评：本题考查函数的单调性的判断与满足条件的实数t的最大值的求法，综合性强，难度较大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．