题目内容

已知；椭圆C的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），左焦点为F(-2
2
，  0)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点B（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，并满足|AM|=|AN|，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
分析：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)，则b=2，c=2
2
，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx-2（k≠0），则由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由
y=kx-2
x2
12
+
y2
4
=1
，消去y，得x2+3（kx-2）2=12．再由根的判别式和韦达定理知存在直线l满足题意，其直线l的方程为y=±
3
3
x-2．
解答：解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)，则b=2，c=2
2

∴a2=c2+b2=12．
即椭圆方程为
x2
12
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）设存在直线l：y=kx-2（k≠0），则由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上
由
y=kx-2
x2
12
+
y2
4
=1
，消去y，得x2+3（kx-2）2=12．
即（1+3k2）x2-12kx=0（*）
∵k≠0，∴△=（-12k）2=144k2＞0，即方程（*）有两个不相等的实根
设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），
则x1+x2=
12k
1+3k2
．∴x0=
x1+x2
2
=
6k
1+3k2
．y0=kx0-2=
6k2-2(1+3k2)
1+3k2
=-
2
1+3k2
．
即P(
6k
1+3k2
，
-2
1+3k2
)．直线AP的斜率为k1=
-2
1+3k2
-2
6k
1+3k2
=
-2-2(1+3k2)
6k
．
由AP⊥MN，得
-2-2(1+3k2)
6k
×k=-1．
∴2+2+6k2=6，∴k=±
3
3
．
∴存在直线l满足题意，其直线l的方程为y=±
3
3
x-2．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（2010•南宁二模）设F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．
精英家教网已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点（p，q），离心率e=
3
2
．其中p，q分别表示标准正态分布的期望值与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'．①试建立△AOB的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化时，直线A'B与x轴交于一个定点”．你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．
设F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
3
2
的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(
k
2
)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(
k
2
，0)对称；⑤函数f(m)=3
3
时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）
（2013•南京二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点A(
a
2
，
a
2
)，B(
3
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（x0，y0）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

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