Question

如图，已知圆O′过定点A(0，p)(p＞0),圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆在x轴上截得的弦，令|AM|=d₁,|AN|=d₂,∠MAN=θ.

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？证明你的结论.

(2)求+的最大值，并求取得最大值时的θ值.

Answer 1

解：(1)当O′点运动时，|MN|为一定值.

    设O′(x₀,y₀)，则x²₀=2py₀(y₀≥0),

    取线段MN中点B，则有O′B⊥MN,所以有：

|M′N|=2|MB|=

=

=

==2p.

(2)在△AMN中运用余弦定理，得

|MN|²=|AM|²+|AN|²-2|AM||AN|cosθd²₁+d²₂-2d₁d₂cosθ=4p²，  ①

    再由三角形的面积公式，在△AMN中可得：

|AM||AN|sinθ=|MN||AO|d₁d₂sinθ=2p².                                   ②

    由①、②可得：

+==

=2sinθ+2cosθ=2sin(θ+)≤2,

    当sin(θ+)=1时，+取最大值2,

    又0＜θ＜π,

    所以取最大值时θ=.