Question

设实数a≠0,函数f(x)=a(x²+1)-(2x+)有最小值-1.

(1)求a的值；

(2)设数列{a_n}的前n项和S_n=f(n)，令b_n=,证明数列{b_n}是等差数列.

Answer 1

(1)解:∵f(x)=a(x-)²+a-,由已知知f()=a-=-1,且a＞0,

    解得a=1,a=-2(舍去).

(2)证明:由(1)得f(x)=x²-2x,

    ∴S_n=n²-2n,a₁=S₁=-1.

    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-(n-1)²+2(n-1)=2n-3,a₁满足上式即a_n=2n-3.

    ∵a_n+1-a_n=2(n+1)-3-2n+3=2，

    ∴数列{a_n}是首项为-1，公差为2的等差数列.

    ∴a₂+a₄+…+a_2n===n(2n-1),

    即b_n==2n-1.

    ∴b_n+1-b_n=2(n+1)-1-2n+1=2.

    又b₂==1，∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列.