题目内容

对于△ABC内的任何一点M，为了确定M的具体位置f（M），采用如下记法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，现有△ABC满足 $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ 且∠A=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），当 $数学公式$ ，那么 $数学公式$ 的最小值为________．

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分析：由向量的数量积公式得| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cos∠BAC=2 $\text{[math]}$ ，从而| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |=4，再由题意得x+y的值，最后利用“1的代换”化简，结合基本不等式求最值即可得答案．
解答：∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cos∠BAC=2 $\text{[math]}$ ，
∴| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |=4，
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•sin∠BAC=1，
由题意得，x+y=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（x+y）=2（5+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2（5+2 $\text{[math]}$ ）=18，
等号在x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ 取到，所以最小值为18．
故答案为：18．
点评：本题考查基本不等式的应用和向量的数量积，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，属于中档题．