Question

对于△ABC内的任何一点M，为了确定M的具体位置f（M），采用如下记法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，现有△ABC满足

AB

•

AC

=2

3

且∠A=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），当f(M)=(x，y，

1

2

)，那么

1

x

+

4

y

的最小值为

18

．

Answer 1

分析：由向量的数量积公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，从而|

AB

||

AC

|=4，再由题意得x+y的值，最后利用“1的代换”化简，结合基本不等式求最值即可得答案．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

||

AC

|=4，
∵S_△ABC=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sin∠BAC=1，
由题意得，x+y=1-

1

2

=

1

2

．
∴

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）（x+y）=2（5+

y

x

+

4x

y

≥2（5+2

y x • 4x y

）=18，
等号在x=

1

6

，y=

1

3

取到，所以最小值为18．
故答案为：18．

点评：本题考查基本不等式的应用和向量的数量积，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，属于中档题．