Question

（2010•武汉模拟）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P、N分别是边A₁B₁、BC的中点．侧棱AA₁=2，M为棱AA₁上的一点，且AM=

1

2

（1）求证：MN⊥MP；
（2）求二面角N-MP-B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁的中点Q，根据勾股定理算出三角形MNP的三边长，只要其满足勾股定理即可说明结论成立；
（2）过N作NH⊥AB，可以得到∠NMH是二面角N-MP-B的平面角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．

解答：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取B₁C₁的中点Q，

连PQ，NQ，则NQ⊥PQ. ∴PN2=( 1 2 )2+22= 17 4 . 而MP2=( 3 2 )2+( 2 2 )2= 11 4 ， MN2=AM2+AN2=( 1 2 )2+12+( 1 2 )2= 6 4 . 可知：MN2+MP2=PN2，

∴MN⊥MP．…（6分）
（2）过N作NH⊥AB于H，则NH⊥面AB1且NH=

2

4

，

连HM，又MN⊥MP，NH⊥MP，则MP⊥HM
∴∠NMH是二面角N-MP-B的平面角，

而N到MP的距离d=MN= 6 2 . 则sin∠NMH= NH MN = 2 4 6 2 = 3 6 .

…（12分）

点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．