Question

 设椭圆E： （）过，两点，为坐标原点，

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析；（1）因为椭圆E； （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为解方程组得，

即，

则△=，即

，

要使，需使，即，

所以，所以又，

所以，所以，即或，

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为，，，

所求的圆为，此时圆的切线都满足或，

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，

综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．

因为，

所以，

， 

①当时

因为所以，

所以，

所以当且仅当时取”=”．

②  当时，．

③  当AB的斜率不存在时， 两个交点为或，所以此时，

综上， |AB |的取值