Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是线段上一点．

（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，点的坐标为．证明见解析

【解析】

以B为原点建立空间直角坐标系，（1）求出平面BDE的法向量，直线AC的方向向量，求出向量夹角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值；（2）先假设结论成立，分别求出平面平面的法向量，由平面平面可知两法向量的数量积为0，即可求解点E的位置.

解：不妨设，在平面中作，以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

（1）因为点是的中点，

所以点的坐标为．

所以，，．

设是平面的法向量，则

即

取，则，所以平面的一个法向量为．

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．

（2）假设存在点使得平面平面，设．

显然，．

设是平面的法向量，则即

取，则，，所以平面的一个法向量为．

因为，所以点的坐标为．

所以，．

设是平面的法向量，则即

取，则，所以平面的一个法向量为．

因为平面平面，所以，即，，解得．

所以的值为2，即当时，平面平面．