Question

4．已知在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 根据题中的条件acosA+bcosB=ccosC通过正弦定理二倍角公式和三角形的内角和公式，利用三角函数的和（差）角公式和诱导公式得到2cosAcosB=0，得到A或B为$\frac{π}{2}$得到答案即可．

解答 解：∵acosA+bcosB=ccosC，
由正弦定理可得
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C，
和差化积可得：2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC
∴cos（A-B）=-cos（A+B），2cosAcosB=0
∴cosA=0或cosB=0，得A=$\frac{π}{2}$或B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题主要考查了学生三角函数中的恒等变换应用的能力．要灵活运用正弦定理、三角函数的和（差）角公式和诱导公式，属于中档题．