Question

已知抛物线y2=2

3

x，过其对称轴上一点P(2

3

，0)作一直线交抛物线于A，B两点，若∠OBA=60°，求OB的斜率．

Answer 1

分析：先设直线AB的方程和A，B两点的坐标，然后联立直线AB和抛物线消去x得到y的二次方程，进而可表示出两根之和，再结合直线AB方程可得到其横坐标之积的值，进而可得到OA⊥OB，最后根据∠OBA=60°可求出B点的纵坐标的值，然后根据横纵坐标之间的关系得到OB的斜率．

解答：解：设直线AB方程为ty=x-2

3

，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

y2=2 3 x ty=x-2 3

，得y2-2

3

ty-12=0，
则y₁•y₂=-12，x₁•x₂=12，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，∴OA⊥OB，又∠OBA=60°，
∴OA=

3

OB，∴x₁²+y₁²=3（x₂²+y₂²），
∴

123

y24

+

122

y22

=

y24

4

+3y22，∴y22=4•

3	32

，
∴kOB=

y2

x2

=

2 3 y2

y22

=±3

1

6

．

点评：本题主要考查直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点，也是难点，要强化复习．