Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，在第一象限中过抛物线上任意一点P的切线为l，过P点作平行于x轴的直线m，过焦点F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=4，则点P的坐标为

(3，2

3

)

．

Answer 1

分析：抛物线y²=4x的焦点为F （1，0），设点P （a，2

a

），利用导数求出过点P的切线l的斜率，用点斜式求直线l的方程，把它与直线m的方程y=2

a

 联立方程组求得点M（2a+1，2

a

），由|PM|=4求出a的值，即可得到点P的坐标．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点为F （1，0），设点P （a，2

a

），
则过点P的切线l的斜率为函数y=2

x

在x=a处的导数2×

1

2

a-

1

2

=

1

a

，
故过焦点F作平行于l的直线方程为 y-0=

1

a

（x-1），即 x-

a

y-1=0 ①．
又直线m的方程为 y=2

a

 ②．
把①②连联立方程组解得点M（2a+1，2

a

），由|PM|=4可得2a+1-a=4，a=3，故点P的坐标为（3，2

3

），
故答案为 (3，2

3

)．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，用点斜式求直线方程以及求两直线的交点坐标的方法，属于中档题．