Question

在△ABC中，已知c=2，C=

π

3

（1）当b=

2 3

3

时，求角B的大小．
（2）当△ABC的面积为

3

时，证明△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）由c=2，C=

π

3

，b=

2 3

3

，根据正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围即C的度数，即可求出满足题意B的度数；
（2）根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积S，让S等于

3

，即可求出ab的值记作①，又根据余弦定理表示出关于a与b的方程记作②，①②联立即可求出a与b的值都为2，根据三边相等即可得出三角形为等比三角形，得证．

解答：解：（1）由c=2，C=

π

3

，b=

2 3

3

，
根据正弦定理得：

2

sin π 3

=

2 3 3

sinB

，解得sinB=

1

2

，又B∈（0，π），C=

π

3

，则B=

π

6

；
（2）因为△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

absin

π

3

=

3

，得到ab=4①，
又根据余弦定理得到4=a²+b²-2abcos

π

3

，化简得：a²+b²-ab=4②，
由①得到a=

4

b

，代入②得：（b²-4）²=0，解得b²=4即b=2，代入①解得a=2，
因为a=b=c=2，所以是等边三角形．

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．