Question

如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE.

（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；

（2）若∠CBE=90°，CE=，AD=1，求B、D两点间的球面距离.

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥底面BCDE，

∴AD⊥BC、AD⊥BE.

又∵AC⊥BC，AE⊥BE，

∴BC⊥CD、BE⊥ED,

∴B、C、D、E四点共圆，即BD为此圆的直径.

取BD的中点M，AB的中点N连结MN，则MN∥AD,

∴MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M,

有AM=BM=CM=DM=EM，五点共球且直径为AB.

（2）解析：若∠CBE=90°，则底面四边形?BCDE是一个矩形，连DN，

∵CE=，AD=1，

∴BD=，MN=.

∴BN=1，∠BNM=，∠BND=π.

∴B，N两点间的球面距离是l=|α|·R=π.