Question

【题目】设数列和的项数均为，则将两个数列的偏差距离定义为，其中.

（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；

（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的偏差距离小于2020，求最大值；

（3）记是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）3461；（3）见解析.

【解析】

（1）由数列距离的定义即可求得数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；

（2）由数列的递推公式，即可求得中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列，的规律，可知随着项数越大，数列，的距离越大，由，再根据周期的定义得到的取大值；

（3）利用反证法，假设中的元素个数大于等于17个，设出，最后求得和中必有一个成立，与数列偏差距离大于或等于3相矛盾，故可证明中的元素个数于于或等于16.

（1）由题意得，数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离为：.

（2）设，其中，且，

由得，所以.

因此中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，

所以数列中，，

所以数列中，，

项数越大，数列，的距离越大，

由，

得，

故的最大值为.

（3）假设中元素素个数大于等于17个，

因为数列中，或，

所以仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个，

那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的，

设这个数列分别为

，其中，

因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，

所以，和中，中至少有三个成立，

不妨设，

由题意，和中一个等于0，而另一个等于1，

又因为或，

所以和中必有一个成立，

同理，得和中必有一个成立，和中必有一个成立，

所以“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，

所以和中必有一个成立，与题意矛盾，

所以中的元素个数小于或等于16.