Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)求二面角P－BD－A的大小.

Answer 1

(1)如图，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0，3)，

∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)，

∴·＝0，·＝0，

∴BD⊥AP，BD⊥AC，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

(2)设平面ABD的一个法向量为m＝(0,0,1)，

设平面PBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝0，n·＝0.

∵＝(－2，0,3)，

∴，解得.

令x＝，则n＝(，3,2)，

∴cos〈m，n〉＝＝.

∴二面角P－BD－A的大小为60°.