Question

在棱长都为a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P是A₁B的中点．
（Ⅰ）求PC与平面ABB₁A₁所成的角；
（Ⅱ）求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求PC与平面ABB₁A₁所成的角，需找到PC在平面ABB₁A₁上的射影，PC与它的射影所成角即PC与平面ABB₁A₁所成的角，
要求PC在平面ABB₁A₁内的射影，只需过P向平面作垂线，找到垂足即可．根据正三棱柱的性质，可以判断垂足在AB的中点，再把角放入三角形中，即可求出．
（Ⅱ）因为A1C1平行于平面PAC，所以C₁到平面PAC的距离与A₁到平面PAC的距离相等，只需求出A₁到平面PAC的距离，把A₁到平面PAC的距离看做三棱锥A₁-PAC的高，三棱锥A₁-PAC也可看做以三棱锥C-AA₁P，再利用等体积法，就可得到所求C₁到平面PAC的距离

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连PO．
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴CO⊥AB B₁A₁．
∴∠CPO是PC与平面ABB₁A₁所成的角．
∵CO=

3

2

a，PO=

1

2

a，
∴tan∠CPO=

3

，∠CPO=60°．
（Ⅱ）A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面PAC．
∴C₁到平面PAC的距离就是点A₁到平面PAC的距离，设为h．
取AB的中点D，则CD⊥平面ABB₁A₁，且CD=

3

2

a．
又知DP=

1

2

a，∴PC=a．
又AP=

2

2

a，求得S△PAC=

7

8

a2．
∵VC1-PAC=VA1-PAC=VC-PAA1，
∴

1

3

S△PAC•h=

1

3

S△PAA1•CD．∴

1

3

•

7

8

a2•h=

1

3

•

1

4

a2•

3

2

a
解得h=

21

7

a．

点评：本题主要考查了直线与平面所成角的大小的求法，以及点到直线的距离的求法，考查了学生的观察力，空间想象力，以及计算能力．