Question

在棱长都为a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P是A₁B的中点．
（Ⅰ）求PC与平面ABB₁A₁所成的角；
（Ⅱ）求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求PC与平面ABB₁A₁所成的角，需找到PC在平面ABB₁A₁上的射影，PC与它的射影所成角即PC与平面ABB₁A₁所成的角，
要求PC在平面ABB₁A₁内的射影，只需过P向平面作垂线，找到垂足即可．根据正三棱柱的性质，可以判断垂足在AB的中点，再把角放入三角形中，即可求出．
（Ⅱ）因为A1C1平行于平面PAC，所以C₁到平面PAC的距离与A₁到平面PAC的距离相等，只需求出A₁到平面PAC的距离，把A₁到平面PAC的距离看做三棱锥A₁-PAC的高，三棱锥A₁-PAC也可看做以三棱锥C-AA₁P，再利用等体积法，就可得到所求C₁到平面PAC的距离
解答：解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连PO．
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴CO⊥AB B₁A₁．
∴∠CPO是PC与平面ABB₁A₁所成的角．
∵CO=，PO=，
∴tan∠CPO=，∠CPO=60°．
（Ⅱ）A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面PAC．
∴C₁到平面PAC的距离就是点A₁到平面PAC的距离，设为h．
取AB的中点D，则CD⊥平面ABB₁A₁，且．
又知，∴PC=a．
又，求得．
∵，
∴．∴
解得a．
点评：本题主要考查了直线与平面所成角的大小的求法，以及点到直线的距离的求法，考查了学生的观察力，空间想象力，以及计算能力．