题目内容

已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设|AM|=m，|AN|=n，求
m
n
+
n
m
的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）
分析：（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 r=
x2+(y-a)2
，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|2+a2=r2，整理可求．
（2）设∠MAN=θ，|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，故m2+n2-2m•n•cosθ=4a2，由S△MAN=
1
2
mnsinθ=
1
2
•a•2a，
n
m
=2cosθ+2sinθ=2
2
sin(θ+
π
4
)≤2
2
，知当θ=
π
4
时，
m
n
+
n
m
取最大值2
2
，由此能求出
m
n
+
n
m
的最大值及此时圆C的方程．
由等差数列的性质得sin2B=sinA•sinC，分别化简两直线方程的一次项系数与常数项之比的结果，从而得到两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系．
解答：解：（1）设圆C的圆心为C（x，y），
依题意圆的半径   r=
x2+(y-a)2
，
∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
∴|y|2+a2=r2，
故x2+（y-a）2=|y|2+a2，
∴x2=2ay，
∴圆C的圆心的轨迹方程为x2=2ay．
（2）设∠MAN=θ，
|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，
∴m2+n2-2m•n•cosθ=4a2，
∵S△MAN=
1
2
mnsinθ=
1
2
•a•2a，
∴
n
m
=2cosθ+2sinθ=2
2
sin(θ+
π
4
)≤2
2
，
当θ=
π
4
时，
m
n
+
n
m
取最大值2
2
，
∵∠MCN=2∠MAN=
π
2
，
∴点C的坐标为(±
2
a，a)，
故
m
n
+
n
m
的最大值为2
2
，
此时圆C的方程为(x-
2
a)2+(y-a)2=2a2，
或(x+
2
a)2+(y-a)2=2a2．
由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）2=lg（sinA•sinC）．
∴sin2B=sinA•sinC．  
设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0．
∵
a1
a2
=
sin2A
sin2B
=
sin2A
sinAsinC
=
sinA
sinC
，
b1
b2
=
sinA
sinC
，
c1
c2
=
-a
-c
=
-2RsinA
-2RsinC
=
sinA
sinC
，
∴
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
，
∴l1与l2重合，
故选A．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题考查等差数列的性质，两直线位置关系的判定方法．
练习册系列答案
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已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设|AM|=m，|AN|=n，求
m
n
+
n
m
的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）
A．、重合B．相交（不垂直）C．垂直D．平行

已知圆C过定点A(0,a)(a>0)且在x轴上截得的弦MN的长为2a.

求圆C的圆心的轨迹方程；

设|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值及此时圆C的方程.

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