Question

如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.

(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

(1)证法一:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.

再由AB⊥AD,得AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.

又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE.

故BE⊥PD.

证法二:由题设AB⊥AD,AB⊥AP,

∴AB⊥平面PAD.

又AE⊥PD,∴BE⊥PD.

(2)解：如图所示,以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则点C、D的坐标分别为(a,a,0)、(0,2a,0).

∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,

∴∠PDA=30°.

于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.

过E作EF⊥AD,垂足为F,

在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得

AF=a,EF=a.

∴E(0,a,a).

于是=(0,a,a),=(-a,a,0).

设的夹角为θ,则由

∴θ=arccos.

绿色通道：

求一对异面直线所成的角:一是按定义平移转化为两相交直线的夹角;二是在异面直线上各取一向量,转化为两向量的夹角或其补角.无论哪种求法,都应注意角的范围的限定.