Question

已知椭圆，过点P（1，1）作直线l与椭圆交于M、N两点．
（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（5）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：CD∥AB．

Answer 1

（1）解：设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），则有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2.①②
①-②化简可得+=0
∴．
故直线l的方程为，即x+2y-3=0．（5分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且，
∴1-x₁=λ₁（x₃-1），1-y₁=λ₁（y₃-1）
∴，
将点A、C的坐标分别代入椭圆方程：①，②
②×-①，并约去1+λ₁得③
同理有④
④-③可得+=λ₂-λ₁
∵，∴+=0
∴
即，即λ₁=λ₂，
所以CD∥AB．（12分）
分析：（1）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），则有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2，利用点差法，可得，从而可求直线l的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且，，可得，，将点A、C的坐标分别代入椭圆方程，化简可得，同理有，由此可得λ₁=λ₂，故可证得结论．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，解题的关键是设点，利用点差法解题．