Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点A_n的坐标表示出斜率k_n，代入求得x_nx_n+1=x_n+2整理后即可求得x_n与x_n+1的关系式；
（2））记，把（1）中求得x_n与x_n+1的关系式代入可求得a_n+1=-2a_n推断数列{a_n}即：{}是等比数列；
（3）由（2）可求得的表达式，进而求得x_n，进而看n为偶数时，求得（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=＜，进而可证（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1；再看n为奇数时，
前n-1项为偶数项，则可证出：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜＜1，最后综合原式可证．
解答：解：（1）过C：上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，
则，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：．
（2）记，
则，
因为，
因此数列{}是等比数列．
（3）由（2）知：，．
①当n为偶数时有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=，
于是在n为偶数时有：．
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n．
综合①②可知原不等式得证．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生推理能力和基本的运算能力．