题目内容

已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
分析：（1）由题设条件求出旋转矩阵M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
，经过TM变换后
x 
y 
→
x′ 
y′ 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
 
x 
y 
，代入曲线C的方程得y′2-x′2=2，从而求出所求；
（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
解答：解  （1）由题设条件，M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
，
TM：
x 
y 
→
x′ 
y′ 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x 
y 
=
2
2
x		-
2
2
2
x
2
+
2
2
，即有
x′=
2
2
x-
2
2
y
y′=
2
2
x+
2
2
y
，
解得
x=
2
2
(x′+y′)
y=
2
2
(y′-x′)
，代入曲线C的方程为y′2-x′2=2．
所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y2-x2=2．…（5分）
（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，
变换矩阵N=
cos(-45°)-sin(-45°)
sin(-45°)cos(-45°)
=
2
2
2
2
-
2
2
2
2
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
-2 
=
-
2
 
-
2
 
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
2 
=
2
 
2
 
，
即曲线C的焦点坐标是（-
2
，-
2
），（
2
，
2
）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）
点评：本题主要考查了矩阵的应用，同时考查了旋转变换和双曲线的性质，属于基础题．
练习册系列答案
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已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）求证：{
1
xn-2
+
1
3
}是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．
已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
(x∈N*)
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）．
（1）求xn与xn+1之间的关系式；
（2）若x1=
11
7
，求证：数列
1
xn-2
+
1
3
是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）
（2009•滨州一模）已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn与xn+1的关系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{bn}是等比数列；
（III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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