题目内容

已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
(x∈N*)
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
分析：（1）过An（xn，yn）斜率为-
xn+1
x
2
n
+4xn
的直线为y-yn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
（x-xn），An+1在直线上，化简即可求xn+1与xn的关系式；
（2）利用（1）的结论，分当n为奇数时，判断xn＜2；当n为偶数时，判断xn＞2，然后推理证明的结论；
（3）利用xn+1=
xn+4
xn+1
=1+
3
xn+1
，再利用放缩法，推出|xn-2|≤
1
2n-1
，再证明|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
解答：解：（1）由已知过An（xn，yn）斜率为-
xn+1
x
2
n
+4xn
的直线为y-yn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
（x-xn），
直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）
所以yn+1-yn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
（xn+1-xn）（2分）
即
1
xn+1
-
1
xn
=-
xn+1
x
2
n
+4xn
（xn+1-xn），xn+1-xn≠0，
所以xn+1=
xn+4
xn+1
(n∈N*)（4分）
（2）解：当n为奇数时，xn＜2；当n为偶数时，xn＞2（5分）
因为xn-2=
xn-1+4
xn-1+1
-2=-
xn-1-2
xn-1+1
，（6分）
注意到xn＞0，所以xn-2与xn-1-2异号
由于x1=1＜2，所以x2＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N*）时，xn＜2；
当n=2k（k∈N*）时，xn＞2（8分）
（3）由于xn＞0，xn+1=
xn+4
xn+1
=1+
3
xn+1
，
所以xn≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以|xn+1-2|=|
xn-2
xn+1
|=
|xn-2|
|xn+1|
≤
1
2
|xn-2|（10分）
所以|xn-2|≤
1
2
|xn-1-2|≤
1
22
|xn-2-2|≤…≤
1
2n-1
|x1-2|=
1
2n-1
（12分）
所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-1=2-(
1
2
)n-1＜2（14分）
点评：本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）求证：{
1
xn-2
+
1
3
}是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）．
（1）求xn与xn+1之间的关系式；
（2）若x1=
11
7
，求证：数列
1
xn-2
+
1
3
是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）
已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
（2009•滨州一模）已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn与xn+1的关系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{bn}是等比数列；
（III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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