Question

【题目】函数其图像与轴交于两点，且.

（1）求的取值范围；

（2）证明：；（为的导函数；）

（3）设点C在函数图像上，且△ABC为等腰直角三角形，记求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）,当时，函数单调递增，不符合题意；当时，要函数图像与轴有两个交点，则需要极小值小于零且区间端点函数值大于零，由此可求得；（2）先将两点的坐标代入函数中，求出的值，然后求出的表达式，利用导数证明这个表达式是单调递减的，由此可证明；（3）根据已知条件有，利用等腰三角形求出的坐标，代入函数解析式，化简后求得.

试题解析：

（1）， ，

若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．

，令，则，当时，，单调减，

当时，，是单调增函数，于是当时，取得极小值，

函数的图象与轴交于两点，

，即，此时，存在，，存在， =a3﹣3alna+a，又由在及上的单调性及曲线在上不间断，可知为所求取值范围．

（2），两式相减得．记（），

则，

设则，是单调减函数，

则有，而，．

又是单调增函数，且 ．

（3）依题意有，则,．

于是，在等腰三角形，显然，，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，，即，

，

即

，则，又，

，即，．