Question

给定函数

（1）试求函数的单调减区间；

（2）已知各项均为负的数列满足，求证：；

（3）设，为数列的前项和，求证：。

Answer 1

（1）  的定义域为………1分 （此处不写定义域，结果正确不扣分） 

   …………3分   

     由得或

单调减区间为和………5分（答案写成（0,2）扣1分；不写区间形式扣1分）

（2）由已知可得，     当时，  

     两式相减得

∴或

当时，，若，则这与题设矛盾

∴     ∴                       ……8分

于是，待证不等式即为。

为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，     由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知                ……………………10分

所以，，即    ………………11分

（3）由（2）可知   则 ……12分

        在中令n=1,2,3…………．．2010，2011并将各式相加得

 ……13分

  即       ………………14