Question

给定函数
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列{a_n}满足，，求证：-＜＜-；
（3）设b_n=-，T_n为数列 {b_n} 的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

Answer 1

解：（1）的定义域为{x|x≠1}
f′（x）=
由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
单调减区间为（0，1）和（1，2）
（2）由已知可得2，当n≥2时，2
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²得a₁=-1，若a_n=-a_n-1，则a₂=1这与题设矛盾
∴a_n-a_n-1=-1
∴a_n=-n                   
于是，待证不等式即为．
为此，我们考虑证明不等式
令1+=t．则t＞1，x=
再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-  
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增∴g（t）＞g（1）=0 于是t-1＞lnt
即 ，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+，h′（t）=   由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-
即，x＞0　　 ②
由①、②可知，x＞0      
所以，，即    
（3）由（2）可知   则 
在中令n=1，2，3…..2010，2011并将各式相加得
即     T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁…14
分析：（1）先写出的定义域，再求其导数，由f′（x）＜0解出单调减区间即可；
（2）由已知可得2，再由此式得到2，两式相减得结合已知条件得出a_n的通项公式，于是，待证不等式即为．为此，我们考虑证明不等式，下面利用换元法结合导数工具进行证明．
（3）由（2）可知   则 ，下面只须在中令n=1，2，3…..2010，2011并将各式相加即可．
点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．