Question

已知M是y=

1

4

x²上一点，F为抛物线焦点，A在C：（x-1）²+（y-4）²=1上，则|MA|+|MF|的最小值（　　）

A．2

B．4

C．8

D．10

Answer 1

分析：将抛物线化成标准方程，求得其准线为l：y=-1，过点M作MN⊥l于N，由抛物线定义得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，而A在圆C上运动，因此可得到当N、M、C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得|MA|+|MF|的最小值．

解答：解：∵抛物线y=

1

4

x²化成标准方程为x²=4y，
∴抛物线的准线为l：y=-1
过点M作MN⊥l于N，
∵|MN|=|MF|，∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圆C：（x-1）²+（y-4）²=1上运动，
圆心为C（1，4）且半径r=1
∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min=|CN₀|-r=5-1=4
即|MA|+|MF|的最小值为4
故选：B

点评：本题给出抛物线张口以内的一个圆，求抛物线上动点M到圆上动点A的距离与A到焦点F距离之和的最小值，着重考查了求与圆有关的距离的最值、抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．