题目内容
【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点
，
，椭圆的一个短轴端点为
，直线
与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为
，
，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在
轴上，设椭圆的长轴为
，短轴为
，双曲线的实轴为
，虚轴为
，
椭圆的一个短轴端点为
，直线
与双曲线的一条渐近线平行，
，即
，平方可得，
，由此得到
，即
，
，由
，
都是正数，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
的最小值，故答案为.
【易错点晴】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用
或
时等号能否同时成立）.
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