Question

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x²-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ），，
x=3是函数的一个极值点，
∴，∴a=16；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（-1，+∞），
，
令f′(x)=0，得x=1，x=3，
f′(x)和f(x)随x的变化情况如下：

∴f(x)的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，　　∴，，　
又时，f(x)→-∞；x→+∞时，f(x)→+∞；
可据此画出函数y=f(x)的草图（图略），
由图可知，当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为．