Question

【题目】已知函数，实数是常数.

（Ⅰ)若=2，函数图像上是否存在两条互相垂直的切线，并说明理由.

（Ⅱ）若在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数图像上不存在两条互相垂直的直线（2）的取值范围是.

【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义，建立不等式进行分析推证；（2）先将问题进行等价转化与化归，再构造方程进行分析探求：

(Ⅰ) ， ，

则

所以，对于任意，均有，

故函数图像上不存在两条互相垂直的直线

(Ⅱ)解：因为在上有零点，

所以在区间上的最小值小于等于0.

因为, 令,得.

（1）当时，即时，

因为对成立，所以在上单调递增，

此时在上的最小值为

所以，

解得，所以此种情形不成立，

（2）当，即时，

①若, 则对成立，所以在上单调递增，

此时在上的最小值为所以，

解得，所以

②若，

若，则对成立， 对成立.

则在上单调递减，在上单调递增，此时在上的最小值为所以有，解得，

若时，注意到,而，

此时结论成立.

综上， 的取值范围是.