Question

已知圆O₁：（x+1）²+y²=1，圆O₂：（x-1）²+y²=9，动圆M分别与圆O₁相外切，与圆O₂相内切．求动圆圆心M所在的曲线的方程．

Answer 1

分析：由于圆O₁：（x+1）²+y²=1，圆O₂：（x-1）²+y²=9，动圆M分别与圆O₁相外切，与圆O₂相内切．故可知动点M到两个定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距离之和为4，从而轨迹是椭圆，故可求方程；

解答：解：设M（x，y），动圆M的半径为r（r＞0），
则由题意知|MO₁|=1+r，|MO₂|=3-r，
于是|MO₁|+|MO₂|=4，即动点M到两个定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距离之和为4．…（3分）
又因为  4=|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|=2，
所以点M在以两定点O₁（-1，0）、O₂（1，0）为焦点，4为长轴长的椭圆上．设此椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)，这里a=2，c=1，…（6分）
则  b²=a²-c²=3．
因此  动圆圆心M所在的曲线方程为   

x2

4

+

y2

3

=1．…（8分）
注：1．若限制x≠-2，也可以；
2、若设M（x，y），由|MO₁|+|MO₂|=4得  

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4，整理并化简得

x2

4

+

y2

3

=1，也可以．

点评：本题以圆与圆的位置关系为依托，考查轨迹方程，轨迹是利用圆与圆的位置关系，得出轨迹是椭圆，从而得解．