Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数且f′（1）=0
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）作曲线y=f（x）条切线，求实数m取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f'（x）是偶函数，求得b，再利用f′（1）=0，可求a的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，可求函数在[-2，2]上的最值，对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，即可求出实数c的最小值；
（3）设切点，求出切线方程，过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，可得方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解，即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点，从而可求实数m取值范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx-3，…（1分）
根据题意f'（x）是偶函数得b=0…（2分）
又f'（1）=0，∴3a-3-0，
∴a=1 …（3分）
∴f（x）=x³-3x．…（4分）
（2）令f'（x）=3x²-3=0，即3x²-3=0，解得x=±1．…（5分）

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	极大值	↘	极小值	↗	0

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．…（6分）
则对于区间x2=-

a

上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值为4．…（8分）
（3）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀）．则y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，∴切线的斜率为3x02-3．
则3x02-3=

x03-3x0-m

x0-2

，即2x03-6x02+6+m=0．…（10分）
∵过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点．…（11分）
则g'（x）=6x²-12x．
令g'（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

，即

6+m＞0 -2+m＜0

，解得-6＜m＜2．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查学生分析转化问题的能力，正确转化是关键．